त्रिकोणमितिय अनुपान एवं सर्व समिकाए in hindi

(1).कोण मापन के तीन पध्दतियो के मध्य सम्बन्ध

D/90 =G/100 = 2C/पाई(π)

1 रेडियन =180/ π डिग्री =(लगभग)5717’15’’

1 डिग्री = π/180 रेडियन =(लगभग) 0.0.175 रेडियन

(2)आधार भुत त्रिकोणमितिय सर्वसमीकाये :

  • sin2Ө+cos2Ө=1 या sin2 Ө=1- cos2Ө या cos2Ө=1- sin2Ө
  • sec2 Ө – tan2 Ө=1 या sec2 Ө=1+ tan2 Ө या tan2 Ө= sec2 Ө-1
  • cosec2 Ө-cot2 Ө=1 या cosec2=1+ cot2 Ө या cot2 Ө=cosecӨ-1
  • यदि sec Ө+ tan Ө=k तो sec Ө- tan Ө=1/k , 2sec Ө=k+1/k
  • cosec Ө+cot Ө=k तो cosec Ө-cot Ө=1/k , 2cosec Ө=k+1/k

 

(3).विभिन्न चतुर्थाशो में त्रिकोण मितिय फलनो का चिन्ह

 

4.संबंधित कोणों के त्रिकोण मितिय अनुपात

sin(2nπ+ Ө)=sinӨ  , cos(2nπ+ Ө)=cosӨ

sin(- Ө)=cosӨ  , cos(- Ө)=sinӨ

sin(+Ө)=cosӨ  ,  cos(+ Ө)= -sinӨ

sin(180- Ө)=sinӨ  , cos(180- Ө)= -cosӨ

sin(180+ Ө)= -sinӨ , cos(180+Ө)= -cosӨ

sin(270- Ө)= -cosӨ , cos(270- Ө)= -sinӨ

sin(270+Ө)= -cosӨ  , cos(270+ Ө)=sinӨ

note:-

  • sinnπ=0 ; cosnπ=(1)n ; tannπ=0 जहा
  • sin(2n+1)π/2=(-1)n ; cos(2n+1) π/2=0

(5). महत्वपूर्ण त्रिकोण मितिय सूत्र

  1. sin(A+B)=sinA.cosB+cosA.sinB
  2. sin(A-B)=sinA.cosB-cosA.sinB
  • cos(A-B)=cosA.cosB+sinA.sinB
  1. cos(A+B)=cosA.cosB-sinA.sinB
  2. tan(A+B)=
  3. tan(A-B)=
  • cot(A+B)=
  • cot(A-B)=
  1. 2sinA.cosB=sin(A+B)+sin(A-B)
  2. 2cosA.sinB=sin(A+B)-sin(A-B)
  3. 2cosA.cosB=cos(A+B)+cos(A-B)
  • 2sinA.sinB=cos(A-B)-cos(A+B)
  • sinC+sinD=2sin().cos()
  • sinC-sinD=2cos().sin()
  1. cosC+cosD=2cos().cos()
  • cosC-cosD=2sin().sin()
  • sin2Ө=2sinӨ.cosӨ=
  • cos2Ө=cos2Ө-sin2Ө = 2cos2Ө-1 =1-2sin2Ө
  • 1+cos2Ө=2cos2Ө or cosӨ=+_
  1. 1-cos2Ө=2sin2Ө or sinӨ==+_
  • tan2Ө=
  • tanӨ==  = +_
  • sin3Ө=3sinӨ-4sin3Ө
  • cos3Ө=4cos3Ө-3cosӨ
  • tan3Ө=
  • sin2A-sin2B= sin(A+B). sin(A-B)= cos2B-cos2A
  • cos2A-sin2B= cos(A+B).cos(A-B)
  • sin(A+B+C)=sinAcosBcosC+sinBcosAcosC+sinCcosAcosB-sinAsinBsinC or =or = cosAcosBcosC[tanA+tanB+tanC-tanA.tanB.tanC]
  • cos(A+B+C)=cosAcosBcosC-sinAsinBcosC-sinAcosBsinC-cosAsinBsinC or =-or = cosAcosBcosC[1-tanAtanB-tanBtanC-tanA.tanC]
  • tan(A+B+C)=or =
  • sin=
  • cos=

(6).कुछ कोण 18 के त्रिकोण मितिय अनुपातो के मान

  1. sin18 =cos72
  2. cos36=sin54
  3. sin15= cos75
  4. cos15=sin75
  5. tan=cot
  6. tan==cot
  7. tan(22.5=cot(67.5 =tan
  8. tan(67.5=cot(22.5)

(7).त्रिकोणमितिय व्यंजको के अधिकतम व न्यूनतम मान

  1. AcosӨ+bBsinӨ का मान हमेश अंतराल [-] में विघमान होता है अथार्त इस व्यंजन का अधिकतम व न्यूनतम मान क्रमशः  है
  2. A2tan2Ө+B2cot2Ө का न्यूनतम मान 2ab होता है जहा a,b>0 है
  3. A2cos2Ө+B2sec2Ө का न्यनतम मान या तो 2AB या A2+B2 होगा ,यदि कुछ वास्तविक Ө के लिए समीकरण AcosӨ=BsecӨ सत्य या असत्य होगा [a,b>0]
  4. A2sin2Ө+B2cosec2Ө का न्यूनतम मान या तो 2AB या A2+B2 होगा ,यदि कुछ वास्तविक Ө के लिए समीकरण AsinӨ=BcosecӨ सत्य या असत्य होगा [a,b>0]

(8).महत्वपूर्ण परिणाम

  1. sinӨsin(60Ө)sin(60Ө)=1/4sin3Ө
  2. cosӨcos(60Ө)cos(60Ө)=1/4cos3Ө
  3. tanӨtan(60Ө)tan(60Ө)=tan3Ө
  4. cotӨcot(60Ө)cot(60Ө)=cot3Ө
  5. यदि tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC, तो A+B+C=n;nI
  6. यदि tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA=1 तो A+B+C=(2n+1); nI
  7. cosӨcos2Өcos4Ө…..cos(2n-1 Ө)=
  8. cotA-tanA=2cot2A
  9. sin2Ө+sin2(60Ө)+sin2(60Ө)=3/2
  10. cos2Ө+ cos2(60Ө)+cos2(60Ө)=3/2

(9).प्रतिबंधित सर्वसमिकाए :

यदि A+B+C=180 , तो

  1. tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
  2. cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
  3. tantan+tantan+tantan=1
  4. cotcot+cotcotcotcot
  5. sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
  6. cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC
  7. sinA+sinB+sinC=4cos
  8. cosA+cosB+cosC=1+4sin

(10).त्रिकोण मितिय फलनो के प्रान्त ,परिसर एवं आवर्तनांक :

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